اعداد سعيد

مجموع مربعات ارقام یک عدد صحیح چون را تعریف می کنیم. به طریق مشابه مجموع مربعات ارقام عدد را تعریف می کنیم و به هین ترتیب. در انجام این عمل همواره در نهایت به یکی از این ده عدد خواهیم رسید:
 

اگر برای بعضی از i ها باشد آنگاه عدد اولیه عدد مبارک،سعید یا شاد (Happy Number) گفته می شود. به عنوان مثال با شروع از عدد 7 دنباله زیر را بدست می آوریم:

پس 7 عدد سعید یا شاد است.

• اولین اعداد سعید به ترتیب عبارتند از:

::
تعداد جملات حاصل از هر یک از اعداد فوق تا زمانی که به عدد یک برسند به این صورت است:

• تعداد اعداد سعید که کوچکتر یا مساوی ...,1,10,100 باشند به ترتیب عبارت است از:

• در اینجا اولین اعدادی را معرفی می کنیم که ضمن اینکه خودشان عدد سعید می باشند عدد بعدی آنها نیز سعید است:

به عبارت دیگر هر دو مولفه زوج های زیر عدد سعید می باشند:

• اگرعددی سعید باشد ودنباله مربوط به آن باشد آنگاهتوانی از 10 است یعنی یک از اعداد 10و100و1000و... می باشد.
  • برهان:

به برهان خلف فرض می کنیم چنین نباشد یعنی توانی از 10 نباشد(فرض خلف). پس عددی m رقمی(m عددی طبیعی دلخواه است ) به صورت است که و برای هر طبیعی داریم بنابه فرض چون جمله بعدی
در دنباله عدد 1 است پس:
اما از طرفی چون توانی از ده نمی باشد پس برای یک i که خواهیم داشت این نتیجه می دهد که این ایجاب می کند که این تناقض است. پس فرض خلف باطل و حکم ثابت می شود.

با توجه به تعریفی که از عدد سعید ارائه شد واضح است که اگرعددی سعید باشد هر یک از اعداد در دنباله نیز سعید خواهند بود.
عددی که سعید نمی باشد عدد بد اقبال,نامبارک یا ناسعید (Unhappy Number) می گوییم.
به عنوان مثال عدد شیطان یعنی عدد 666 عدد ناسعید است. چون اگر دنبالهرا برای آن بنویسم خواهیم داشت:

مشاهده می شود عدد 37 در دنباله فوق دوبار تکرار شده است و همین مطلب برای رد سعید بودن این عدد کافی است چون از اینجا به بعد سلسله جملات 37,58,89,145,42,20,4,16 در دنباله تکرار می شوند و این دنباله هیچ گاه به یک نمی رسد. پس دنباله مربوط به اعداد ناسعید از جایی به بعد به صورت متناوب تکرار می شود. همچنین همانند اعداد سعید در دنباله حاصل از اعداد ناسعید همه ها عدد نا سعید می باشند(چرا؟).

منبع:سایت رشد