توپ باهوش

فرض کنید سه ظرف به گنجایش های 12، 9 ، 5 لیتر داریم. ظرف 12 لیتری پر از آب است و دو ظرف دیگر خالی هستند . می خواهیم محتوای ظرف 12لیتری را به کمک دو ظرف دیگر به دو قسمت مساوی تقسیم کنیم اما چه طور؟
روشن است که برای حل مساله لازم نیست از ظرف های واقعی استفاده کنیم بلکه کافی است جابه جایی آب را به شکل زیر انجام دهیم:

در هر ستون،مقدار آب داخل هر ظرف،بعد از تغییر نوشته شده است.
در ستون اول :ظرف 5 لیتری را پر می کنیم ،ظرف 9 لیتری خالی می ماند (0) و در ظرف 12 لیتری ، 7 لیتر باقی می ماند .
در ستون دوم :از ظرف 12 لیتری ،7 لیتر را در ظرف 9 لیتری ریخته ایم و غیره.
کوشش کنید با تغییر نوع عمل ها ، راه حل دیگری برای این مساله به دست آورید.
در مورد این مساله ی جالب ،باید مطلب زیر روشن شود:
آیا می توان به کمک دو ظرف خالی ،از ظرف سومی که پر از آب است هر مقدار دلخواه آب برداشت ،مثلا" از ظرف 12 لیتری و به کمک ظرف های 9 و 5 لیتری ،یک لیتر ،دو لیتر ،سه لیتر ،چهار لیتر .... تا 11 لیتر بر داریم ؟
تمام بحث انجام شده در بالا را می توان به کمک توپ باهوش ،البته به شرطی که میز بیلیاردی مخصوص آن طراحی شده باشد ، مورد بررسی قرار داد.

روی یک ورق کاغذ ، خط های موازی و مایلی چنان رسم کنید که خانه های شطرنجی به شکل لوزی با زاویه ی 60 درجه به وجود آید سپس شکلOBCDA را طبق شکل زیر بسازید :

این همان میز بیلیارد است . اگر توپ بیلیارد را در طول OA حرکت دهیم ،پس از برخورد به کناره ی AD ، طبق قانون، زاویه تابش برابر زاویه بازتابش است پس زاویه تابش= زاویه بازتابش ،توپ در امتداد  حرکت می کند . بعد از برخورد در  روی امتداد  به حرکت در می آید و بعدبا تکرار این روش به ترتیب روی خط های  حرکت خواهد نمود .
در شکل فوق ضلع OA شامل 9 خانه (گنجایش پیمانه ی بزرگ تر)،OB شامل 5 خانه(گنجایش پیمانه ی کوچک تر) ، AD شامل 3 خانه(اختلاف حجم ظرف پر از آب وپیمانه ی بزرگ تر, 3=9-12)و بالاخره BC شامل 7 خانه (اختلاف حجم ظرف پر از آب وپیمانه ی کوچک تر, 7=5-12)می باشد.
متذکر می شویم که هر نقطه واقع بر ضلع های میز ، با تعداد خانه های معینی از OB و OA جدا شده است .مثلا" فاصله ی نقطه ی  تا OB ،چهار خانه و تا OA پنج خانه است ،از نقطه ی  تا OB چهار خانه و تا OA صفر خانه است. بنابراین هر نقطه از ضلع های میز ، که توپ بیلیارد به آن جا می رسد به وسیله ی دو عدد مشخص می شود. اولین عدد ،یعنی تعداد خانه هایی که نقطه را از OB جدا می کند، نماینده ی مقدار آب در ظرف 9 لیتری و دومین عدد ،یعنی تعداد خانه هایی که نقطه را از OA جدا می کند ، نماینده ی مقدار آب در ظرف 5 لیتری می باشد، البته بقیه ی آب در ظرف 12 لیتری خواهد بود.
اکنون توپ بیلیارد را در امتداد OA حرکت دهید و ضمن این که متوجه نقطه های برخورد آن با کناره ها ی میز هستید ،حرکت آن را تا تعقیب نمائید . چند نقطه ی برخورد را برای نمونه می نویسیم :اولین نقطه ی برخورد (0و9)A .دومین نقطه ی برخورد (5و4) .سومین نقطه ی برخورد (0و4) .نقطه ی چهارم (4و0) . نقطه ی پنجم (4و8) :[در این لحظه توپ راهنمایی می کند که 8 لیتر آب را در ظرف خالی 9 لیتری بریزیم] .و....
اگر اجازه دهید که توپ حرکت خود را ادامه دهد از تمام راس های لوزی ها ،خواهد گذشت.و سپس به نقطه ی اولیه ی O بر خواهد گشت.این حرکت به معنای آن است که از ظرف 12لیتری می توان ازیک تا نه لیتر (باید مقدار برحسب لیتر و با عدد صحیح بیان شده باشد.) در ظرف 9 لیتری و از یک تا پنج لیتر در ظرف 5 لیتری ریخت .
اگر کمی دقت کنیم می بینیم که توپ می تواند راه حل کوتاه تری به ما بدهد، برای این منظور توپ را در امتداد کناره ی OBحرکت می دهیم و در این حالت روی هم 8 برخورد تا رسیدن به  انجام می گیرد.
نکته :مساله ای از این نوع ممکن است اصلا" جوابی نداشته باشد .اما توپ چگونه این امر را نشان می دهد ؟
خیلی ساده : در این حالت ، توپ به نقطه ی O برمی گردد بدون این که از نقطه ی مورد نظر عبور کرده باشد .
تمرین : با رسم میز بیلیارد،نشان دهید که نمی توان به کمک ظرف های 7 لیتری و 9 لیتری ،آب ظرف 12 لیتری را به دو قسمت مساوی 6 لیتری تقسیم کرد.